בסביבת הנקודה
,
ואולי
אפילו לקבל קירובים טובים יותר ויותר ככל
שמעלת הפולינום עולה.
המטרה
בהצגת פולינומי טיילור הייתה לקבל קירוב
טוב יותר מהקירוב הלינארי לפונקציה
בסביבת הנקודה
,
ואולי
אפילו לקבל קירובים טובים יותר ויותר ככל
שמעלת הפולינום עולה.
האם באמת זה קרה?
שאלה 1
עבור
נקודה קבועה
(שאינה
a-
),
האם
הערכים של פולינומי טיילור
מתכנסים למספר כלשהו,
כאשר
גדל?
|
[ |
|
שאלה 2
במידה
והסדרה-
אכן
מתכנסת,
האם
המספר אליו מתכנסים זהה לערך
בנקודה זו,
כלומר
?
|
[ |
|
שאלה 3
בהנחה
ש-
מתכנס ל-
כאשר
גדל, האם
אנחנו יכולים להעריך את הדיוק את הקירוב
ל-
?
להפתעתנו,
התשובות
לשלושת השאלות הנ"ל
אינן מוחלטות.
הן
תלויות בפונקציה הספציפית
ובנקודה
,
ובאופן
כללי,
התשובות
המלאות לשאלות אלה הן מעבר להיקף קורס
זה.
חשוב,
עם
זאת,
להבין
את החשיבות של השאלות – בלעדיהן יהיה זה
לא-מעשי
לחשב את הערך של פונקציה,
נגיד
בנקודה
,
בעזרת
קירוב פולינום טיילור,
מאחר
ואף קירוב אינו עוזר לנו ללא הערכת הטעות.
עבור
פונקציות ספציפיות
(ראה6.9)
חשוב
לדעת את התשובות לשאלות הללו,
וכמו
כן חשוב לדעת איך לקבוע את התשובות עבור
קבוצה מעט גדולה יותר של פונקציות (ראה
6.10).
ב-6.11
ו-6.12
נדון
בכלים שיתנו מענה לשאלה השלישית עבור
מספר מקרים,
בעוד
ש-6.9
ו-6.10
נותנים
את התשובות לשתי השאלות הראשונות עבור
פונקציות ספציפיות.
]
]