חומר עזר6.2 : נגזרות מסדר גבוה

אם היא פונקציה טובה מספיק, אזי נוכל להתייחס לנגזרת (השיפוע של הקו המשיק לגרף של בנקודה ) כפונקציה של . אזי, מתוך הפונקציה , אנו מקבלים פונקציה חדשה , הנגזרת.

פעולת הגזירה מקיימת תכונות רבות (למשל, היא לינארית), וכמו כן, במידה ומבוצעת על פונקציות "נחמדות" מספיק, נוכל לבצע תהליך זה שוב ושוב:

התוצאה של גזירה פעמים נקראת הנגזרת הn-ית, והיא מסומנת על ידי - בסימון זה נוכל להשתמש לכל מספר טבעי , בניגוד ל" ' ” שבו נוכל להשתמש רק עבור קטן:

הערה - כמובן שלא נוכל לגזור שוב ושוב כל פונקציה. למשל, הפונקציה אינה גזירה עבור - יש שם פינה:

לעומת זאת, הפונקציה היא כן גזירה:

לכן גזירה 3 פעמים, אך לא יותר.

הערות עבור הנגזרת שראינו בפרק 5 ישנם שני סימונים:

פעולת הגזירה מסומנת על ידי קו מפריד או על ידי .

בצורה דומה, עבור הנגזרת השניה נשתמש בסימונים:

ועבור הנגזרת השלישית:

עבור הנגזרת הn-ית, הסימונים יהיו:

הסימון של לייבניץ לנגזרת הראשונה מובן פשוטו כמשמעו כיחס כאשר אנו מדברים על דיפרנציאלים. היזכר כי ראינו בפרק 5 כי:

כמו כן, גם כלל השרשרת נראה נחמד בסימון הנ"ל:

מצד שני, הסימון של ניוטון הוא קל יותר לשימוש כאשר אנו חושבים על הנגזרת כעל פונקציה – על מנת להעריך אותה בנקודה , נשתמש בסימון הפונקציה הסטנדרטי , כאשר אם נשתמש בסימון של לייבניץ, ניאלץ לרשום .

יתרון נוסף לסימון של לייבניץ מובחן במקרה בו יש מספר משתנים התלויים זה בזה (לדוגמה- במקרה בו y תלוי במשתנים נוספים ל-x). במקרה זה מסמן באופן מובהק את הנגזרת של ביחס ל- , בניגד לנגזרת ביחס למשתנה אחר, לדוגמא .

עבור נגזרות גבוהות, הסימון הינו ברור מספיק, אבל במבט ראשון לא ברור למה בסימון של לייבניץ הוא מופיע כ- ולא כ- או . את הסוגיה הזו נבין חלקית לאחר שנדון בטורי טיילור.

דוגמאות