חומר עזר 5.5 : משמעות הנגזרת – קירוב לינארי

לא כל הפונקציות גזירות. עקרונית, פונקציה היא גזירה ב- אם לגרף הפונקציה אין "פינה" ב- .

כש- השינוי המקביל בפונקציה גם הוא שואף לאפס, כל עוד f רציפה ב- . כדי ש- f תהיה גזירה, צריך להתקיים בנוסף שהיחס

של שני הגדלים הקטנים הללו יתקרב לערך כלשהו, . אם זה כך, אז

כלומר לערכים קטנים של . זה נקרא הקירוב הלינארי של f בסביבת . ניתן לכתוב אותו גם כך:

גיאומטרית, הגרף של הפונקציה באגף ימין הוא הקו המשיק בנקודה - כי זה הקו העובר בנקודה ששיפועו :

אז ניתן להגיד במדויק ש-

דוגמה לפונקציה שאינה גזירה

ב- . במקרה זה אז במקרה של שינוי ב- x (מ- ל- ):

כלומר

שלא שואף לערך מסויים כש- ולכן f לא גזירה ב- .

הערות:

1. אפשר להסתכל על עבור חיובי בלבד, או שלילי בלבד, ואם היחס שואף לערך מסוים עבור כזה, נאמר של- f יש נגזרת חד-צדדית, שמסומנת או . לכן ל- יש נגזרות חד-צדדיות.

2. פונקציה שמוגדרת ב- ורק בצד אחד של (נאמר למשל ש- היא נקודת קצה בתחום ההגדרה של f), עדיין יכולה להיות גזירה ב- . כמו בהגדרת הרציפות אנחנו מתעניינים רק בשינויים שגורמים ל- בתוך תחום ההגדרה של הפונקציה.

3. הפונקציה לא גזירה ב- בגלל ש- לא שואף לאף ערך כש קטן. (השיפוע של המיתרים גדל).

3. פונקציה שאינה רציפה בנקודה מסוימת בוודאי אינה יכולה להיות גזירה שם. כדי שפונקציה תהיה גזירה, צריך לשאוף לערך סופי כלשהו כש- , כך ש-

שזו בדיוק המשמעות של רציפות f בנקודה.