חומר עזר 5.12 : סיכום של חוקי גזירה וטבלת נגזרות של פונקציות אלמנטריות

בסעיף זה אנו מרכזים את כללי הגזירה מתתי הפרקים B 5.9, B 5.10, B 5.11 עבור פונקציה שרירותית הנתונה באופן סגור (פונקציה הנתונה כהרכבה של סכומים, מכפלות ופונקציות בסיסיות). מספר דוגמאות נוספות (וחשובות) מצורפות כאן, שאותן לא פיתחנו באופן מפורש בתתי הפרקים הקודמים ; ההסברים לדוגמאות אלו ניתן בסוף תת-פרק זה. בהמשך, סעיף 5.13 מדגים את השימוש בכלים אלו לצורך גזירת פונקציות שונות (הנתונות בצורה סגורה).

חוקי גזירה:

(סכום)
(מכפלה)
(מנה)
(הרכבה)		(כלל השרשרת)
(פונקציה הפוכה)

(באופן כללי איננו משתמשים בחוק האחרון, משום שהפונקציות ההפוכות לפונקציות האלמנטריות ונגזרותיהן מופיעות בטבלה המופיעה מתחת)

טבלת נגזרות של פונקציות אלמנטריות:

הערות :

1. בסעיף 5.10 פיתחנו את הנגזרת של ושל . שניהם מקרים מיוחדים של .

   כיצד ניתן להתמודד עם המקרה הכללי? התשובה – על ידי שימוש בהגדרה :

כדרוש.

2. הפונקציות ההיפרבוליות כולן מוגדרות על ידי נוסחאות הדומות לנוסחאות הפונקציות

הטריגונומטריות, תחת החלפת sin, cos ב cosh, sinh.

מאחר ומתקיים:

אנו יכולים לגזור פונקציות אלו בקלות, ביודענו כעת כי :

בדיוק כפי שפיתחנו את הנגזרות של tan, cot, sec , csc מהנגזרות של sin , cos בסעיף B 5.10, כך אנו יכולים לקבל את הנגזרות של tanh, coth, sech, csch מאלו של sinh , cosh (יש לשים לב לשינוי הסימן). באופן דומה זה יתבצע עבור הפונקציות ההפוכות כמופיע בסעיף B 5.11.

דוגמה: למציאת :

נציב =y ואז מתקיים: =x , , ונקבל:

אבל דהיינו וכן

(=y הוא תמיד אי-שלילי לפי מוסכמה, כך ש-הוא השורש החיובי מבין הפתרונות)

ואז דהיינו