חומר עזר 3.3 : המשפט היסודי של האלגברה

ניתן היה לקוות כי נוכל להמשיך למשוואות ממעלה גבוהה יותר. עבור משוואות פולינומיות ממעלה שניה או שלישית יש לנו עתה נוסחאות סגורות לפתרון, אך מה בנוגע למעלה רביעית ומעלה?

נמצאה ע"יFerrari שיטת צמצום בעיית פתרון משוואה ממעלה רביעית (דו-ריבועית), לבעיית פתרון משוואה ממעלה שלישית – וממעלה זו כבר ניתן לפתור. מאוחר יותר ראו כי כתיבת פתרון בצורה סגורה עבור משוואה כללית ממעלה חמישית הינה בלתי אפשרית כאשר עושים שימוש רק בפעולות (צורה מסוג זה ידועה כפתרון לפי השורש ה--י).

מצד שני, גם אם נוותר על הבעיה האלגברית (מציאת צורות סגורות עבור פתרון) עדיין קיימת בעיית מציאת פתרונות באופן כללי.

כבמשוואות ריבועיות, פולינום ממעלה רביעית עשוי להיות חסר שורשים ממשיים כלל, אך לפולינום ממעלה חמישית (כמו לפולינום ממעלה שלישית) חייב להיות לפחות שורש ממשי אחד.

הנוסחה עבור פתרון משוואה ריבועית, , כוללת שורש ריבועי. אם ניתן ייצוג פורמלי לשורשים ריבועיים של מספרים שליליים, לפתע לכל המשוואות הריבועיות יהיו שני שורשים (העשויים להיות שווים זה לזה, זאת אומרת שורש אחד כפול) וניתן יהיה לפרק את הפולינום הריבועי לשני גורמים ממעלה ראשונה.

למשוואות ממעלה שלישית תמיד יש שורש ממשי אחד לפחות. ומה בנוגע לפולינומים מסדר גבוה יותר? האם אנו צריכים להציג צורה מסובכת יותר של מספר מדומה על מנת לטפל בפולינומים ממעלה רביעית או משוואות מסדר גבוה יותר? התשובה הינה לא.

המשפט היסודי של האלגברה: לכל משוואה פולינומית

(בעלת מקדמים שהם מספרים מרוכבים) יש לפחות שורש אחד.

אם כך, לא רק שלכל משוואה פולינומית בעלת מקדמים ממשיים ישנו לפחות שורש אחד כאשר אנו מרחיבים את המספרים המותרים מהממשיים למרוכבים, אלא עתה הדבר הוא גם נכון לגבי כל המשוואות הפולינומיות בעלות מקדמים מרוכבים. אין צורך בהרחבות נוספות ואנו נאמר כי המספרים המרוכבים מרכיבים שדה סגור אלגברית, המסומן .

בסעיף 3.16 נראה כיצד המשפט היסודי של האלגברה מאפשר פירוק לגורמים של כל פולינום לגורמים לינאריים (מעל המספרים המרוכבים).